Distance

Giải sử

a = (3, 7, 1)

b = (2, 5, 5)

1. Manhattan distance

$$d_{\text{Manhattan}}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sum_{i=1}^{n} \left| x_i - y_i \right|$$

$$d_{\text{Manhattan}}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = |3-2| + |7-5| + |1-5| = 7$$

2. Euclidean

$$d_{\text{Euclidean}}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}$$

$$d_{\text{Euclidean}}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt{(3 - 2)^2 + (7-5)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{21} \approx 4.58$$

3. Minkowski distance

$$d_{\text{Minkowski}}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt[p]{\left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)}, \quad p \ge 1$$

$$d_{\text{Minkowski}}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt[3]{\left(|3 - 2|^3 + |7-5|^3 + |1-5|^3\right)} = \sqrt[3]{73} \approx 4.18 $$

from scipy.spatial.distance import minkowski, euclidean, cityblock
a = [3, 7, 1]
b = [2, 5, 5]
print('manhattan distance', cityblock(a, b))
print('euclidean distance', euclidean(a, b))
print('minkowski distance', minkowski(a, b, p = 3))

3. NaN-Euclidean Distance

NaN-Euclidean distance được sử dụng khi dữ liệu có giá trị thiếu (NaN). Khoảng cách chỉ được tính trên các chiều mà cả hai vector đều có giá trị, sau đó được chuẩn hoá.

Giả sử hai vector đặc trưng:

$$ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_d), \quad \mathbf{y} = (y_1, y_2, \dots, y_d) $$

$$S = \{\, i \mid x_i \neq \text{NaN} \ \text{and} \ y_i \neq \text{NaN} \,\}$$

$$d_{\text{nan-euclidean}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sqrt{ \frac{d}{|S|} \sum_{i \in S} (x_i - y_i)^2 }$$

• d là tổng số chiều ban đầu
• |S| là số chiều không bị thiếu dữ liệu

Nếu |S| = 0 thì khoảng cách không xác định.

$$\mathbf{x} = (2,\ \text{NaN},\ 5,\ 1)$$

$$\mathbf{y} = (4,\ 3,\ 5,\ \text{NaN})$$

$$d(x,y) = \sqrt{\frac{4}{2}((3-4)^2+(5-5)^2)} = 2\sqrt{2}$$

from sklearn.metrics import nan_euclidean_distances
import numpy as np
X = [
    [2, np.nan, 5, 1],
    [4, 3, 5, np.nan]
]
nan_euclidean_distances(X)